Сергей Капица. Учёные математики 18-19 веков

Огюстен Коши - КУРС АЛГЕБРАИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Мы приводим предисловие к «Курсу алгебраического анализа» Коши, впервые изданному в 1821 г.

КУРС АЛГЕБРАИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Некоторые лица, которые так охотно руководили мною в начале моего поприща (среди них я с особой признательностью назову Лапласа и Пуассона), выразили желание видеть в печати курс анализа, читанный мной} в Политехнической школе. Для пользы слушателей я решил написать этот курс, что и составило данную книгу, в которую вошла его первая часть – алгебраический анализ. В этой части курса рассматриваются различные виды вещественных и мнимых функций, сходящиеся и расходящиеся ряды, решение уравнений и разложения рациональных дробей.

Говоря о непрерывности функций, я не мог оставить без внимания главные свойства бесконечно малых величин и именно те свойства, на которых основаны дифференциальное и интегральное исчисления. Наконец, во введении и в примечаниях, помещенных в конце сочинения, ириведены те сведения, которые могут быть полезны как для преподавателей и слушателей наших учебных заведений, так и для тех, кто желает специально изучить анализ.

Что касается способа изложения, то я старался придать выводам ту строгость, которая требуется в геометрии, совершенно избегая сужде‑нип, полученных из алгебраических обобщений. Хотя подобные суждения и допускаются, особенно при переходе от сходящихся рядов к расходящимся и от вещественных выражений к мнимым, но мне кажется, что их молото принять лишь за наведения, посредством которых, и то не всегда, только угадывается истина, что совершенно не удовлетворяет той строгости, которой гордятся математические науки.

К тому же наведения могут дать безграничный простор алгебраическим формулам, между тем как в действительности большая часть этих формул справедлива только при известных условиях и лишь при некоторых значениях входящих в них величин. Определяя эти условия и эти значения и устанавливая точный смысл знакоположений, которые много используются, я устраняю всякую неопределенность. Таким образом, эти различные формулы выражают отношения между вещественными величинами и эти отношения всегда легко проверить путем подстановки чисел вместо самих величин. Правда, для того чтобы оставаться верным этим принципам, я должен был допустить многие предположения, которые с первого взгляда поражают.

Так например, в VI главе я говорю, что расходящиеся ряды не имеют суммы, в VII главе – что мнимое уравнение есть только символическое изображение двух уравнений между вещественными величинами. В IX главе: если постоянная или переменная какой‑либо функции из вещественных по условию станут мнимыми, то обозначение, принятое для выражения функции, может быть сохранено только при новом условии, дающем возможность выразить смысл такого обозначения, сообразный с последним предположением и т.д.

Впрочем я надеюсь, что нашп читатели сами лично убедятся, что подобные предположения, которые вызывают потребность в большей отчетливости и с пользой ограничивают обобщение, не только служат делу анализа, но и дают новые материалы для весьма важных исследований. Так, прежде чем отыскивать сумму какого‑либо ряда, я должен был рассмотреть: в каких случаях ряды могут суммироваться, т.е. в чем заключается условие их сходимости. Относительно этого я нашел общие правила, которые, по моему мнению, заслуживают некоторого внимания.

Наконец, если, с одной стороны, я заботился о усовершенствовании математического анализа, то, с другой стороны, от меня была далека мысль, что сам анализ должен вполне удовлетворять всем наукам философского содержания. Нет никакого сомнения в том, что единственный способ, который с успехом может применяться в естественных науках, состоит в наблюдении фактов и в подчинении наблюдений вычислениям. Но было бы большим заблуждением допустить, что достоверность заключается только в геометрических доказательствах и в указании наших чувств. Хотя до сих пор никто посредством анализа не пытался доказать существование Августа или Людовика XIV, но каждый здравомыслящий согласится с тем, что в действительном существовании этих лиц он убежден так же, как и в справедливости теоремы Пифагора или Мак‑лорена.

Более того, я замечу, что доказательство последней теоремы доступно пониманию, да и сами ученые еще не во всем согласны, в каких пределах она справедлива, между тем, как все хорошо знают, кто царствовал во Франции в XVII столетии и этому нельзя разумно возражать. То, что я сказал относительно исторического факта, в такой же степени может быть применено к множеству других религиозных, нравственных и политических вопросов. Итак, мы должны четко сознавать, что существуют истины и кроме алгебраических и что есть действительность, которая существует независимо от предметов познаваемых чувствами. Будем поэтому усердно разрабатывать математические науки, не стремясь распространять их значение за естественные пределы, не будем увлекаться решением исторических вопросов посредством формул и искать нравственных оснований в теоремах алгебры или интегрального исчисления.

Заканчивая это предисловие, я считаю себя обязанным сказать о большой пользе, которую мне принесли советы и знания многих лиц, особенно Пуассона, Ампера и Кориолиса. У последнего, между прочим, я заимствовал правило о сходимости произведений, составленных из бесконечного числа сомножителей. Я также воспользовался как многочисленными замечаниями, так и тем способом, который Ампер развил в своих «Уроках анализа».