Сергей Капица. Учёные математики 18-19 веков

Давид Гильберт - ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Приводим вступительную часть речи Гильберта на II Международном съезде математиков в Париже в 1900 г. В этой знаменитой речи Гильберт сформулировал 23 проблемы. Последующее развитие математики показало всю глубину его интуицпп и понимания путей развития математики. Мы приводим также предисловие к «Основаниям геометрии» (1930), первоначально вышедшим в 1899 г.

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Геометрия,– так же как и арифметика,– требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами  геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений – это задача, которая со времен Эвклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.

Настоящее исследование представляет собой новую попытку установить для геометрии полную и возможно более простую  систему аксиом и вынести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы так, чтобы при этом стало совершенно ясно значение как различных групп аксиом, так и следствий, получающихся из отдельных аксиом.

***

Настоящая работа представляет собой критическое исследование основ геометрии; в этом исследовании нами руководил принцип разбирать каждый представившийся вопрос так, чтобы при этом исследовать, можно ли получить на него ответ на предначертанном заранее пути при помощи определенных ограниченных вспомогательных средств. Этот принцип содержит, как мне кажется, общее и естественное положение, когда мы при наших математических исследованиях встречаемся с некоторой проблемой или предполагаем справедливость некоторой теоремы, то наше стремление к познанию бывает удовлетворено лишь после того, как нам удастся полностью решить проблему и строго доказать теорему, или после того, как нами полностью осознается невозможность такого реше‑пия (или доказательства) и тем самым становится очевидным, что все такие попытки неминуемо обречены на неудачу.

Поэтому‑то в новой математике вопрос о невозможности  определенных решений или неразрешимости некоторых задач играет выдающуюся роль, и стремление ответить на подобного рода вопрос часто служило толчком для открытия новых и плодотворных областей исследования. Напомним только о доказательстве Абеля невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах, далее, о выяснении недоказуемости аксиомы о параллельных и, наконец, о теоремах Эрмита и Линдеман‑на – о невозможности построить числа е я и алгебраическим путем.

Тот принцип, в силу которого следует повсюду выяснять условия возможности доказательства, теснейшим образом связан также с требованием «чистоты» методов доказательства – требованием, энергично выдвигаемым многими математиками. Это требование, в сущности, есть не что иное, как субъективное выражение принципа, которому мы здесь следовали. В настоящем геометрическом исследовании мы всюду стремились установить, какие аксиомы, предположения или вспомогательные средства необходимы для доказательства некоторой истины элементарной геометрии; какой метод доказательства следует предпочесть исходя из принятой только что точки зрения.