Автоматизированные системы теплоснабжения и отопления

Раздел: Отопление

Для построения математических моделей, решения вопросов регулирования тепловых и гидравлических режимов возмущающие воздействия необходимо представить в аналитической форме.

Простейшей задачей математической обработки экспериментальных или статистических данных является представление их в виде линейных, параболических или других аналитических формул. Для решения в этом случае чаще всего используется метод наименьших квадратов, позволяющий оценить неизвестные параметры искомой функции.

Приведенные выше формулы показывают сущность применения метода наименьших квадратов в простейшем случае. Более сложные приложения этого метода требуют использования матричной алгебры [53].

Значительным развитием метода наименьших квадратов является регрессионный анализ [41, 98, 115, 166], позволяющий не только оценить неизвестные коэффициенты, но и на основе имеющейся статистической информации сделать некоторые выводы о структуре зависимости. Рассматриваемый метод позволяет также строить доверительные интервалы для оценок неизвестных параметров, входящих в уравнение регрессии, и проверять статистические гипотезы, например о равенстве нулю некоторых коэффициентов.

Регрессионный анализ проводится, как правило, в предположении нормальности ошибок измерения. В этом случае, используя критерии согласия, можно проверить различные гипотезы об окончательном^ виде модели, например о равенстве некоторых коэффициентов и др. Это позволяет построить специальные алгоритмы отбора переменных для введения в регрессионное уравнение [1, 53, 87].

Однако задача построения регрессионной модели не является простой ввиду наличия зависимости во входных переменных (мультиколлинеарность), что приводит к трудностям при обращении матрицы ХТХ. В связи с этим разрабатываются многочисленные методы, позволяющие преодолеть это препятствие, например использующие процедуры псевдообращения матриц [3], гребневая регрессия, устойчивое оценивание регрессионных коэффициентов и др.

В целом можно сказать, что регрессионный анализ линейных по параметрам моделей достаточно глубоко изучен и представлен большим количеством алгоритмов и программ. Широкое применение рассматриваемые методы находят в задачах управления объектами энергетики [12].

Практические задачи в системах теплоснабжения и отопления часто приводят к нелинейным уравнениям. Построение нелинейного уравнения регрессии является значительно более сложной задачей хотя бы потому, что такая задача может вообще не иметь конечного решения либо иметь много решений. Алгоритмы нелинейного регрессионного анализа обычно итерационны, а скорость их сходимости в значительной степени зависит от начального приближения. Следует отметить наиболее успешно применяемый в таких задачах алгоритм Марквардта, который реализован во многих программах [35].

Дальнейшим развитием задачи является рассмотрение ограничений, накладываемых на коэффициенты регрессии. Нелинейный алгоритм регрессионного анализа с ограничениями типа Равенства приведен в работе [35], однако следует отметить, что решение такой задачи требует большого количества вычисле

ний, что часто приводит к накоплению значительных ошибок и, в свою очередь, вынуждает исследователей увеличивать точность вычислений, например на ЭВМ серии ЕС переходить к удвоенной точности.

Другим направлением развития методов построения параметрических моделей является разработка настраиваемых или адаптивных моделей [30, 81], которые позволяют учесть изменение самой модели во времени.

Существуют различные способы математического описания или предсказания таких возмущающих величин, как, например, метеопараметры. Так, наружную температуру воздуха многие авторы представляют рядом Фурье или его отрезком, а также тригонометрическими полиномами. Такой подход позволяет успешно использовать полученное представление для решения конкретных теплофизических задач, а также при расчете теплоустойчивости. Таким образом, случайный процесс, каковым можно считать изменение t„ во времени, заменяется некоторой детерминированной формулой. Это не всегда удобно, например, при прогнозировании поведения параметров систем теплоснабжения. В этих случаях необходим учет именно вероятностной структуры исследуемого процесса.

Для этой цели с успехом применяются методы анализа временных рядов [8], позволяющие построить стохастическую модель, генерирующую исследуемый временной ряд, например из последовательности типа «белого шума». Такая модель может иметь довольно разнообразную структуру и учитывать сезонные изменения интересующего временного ряда.

Задача получения решений системы уравнений нестационарного теплообмена [2], пригодного для оперативного ведения теплового режима в условиях АСУ, выдвигает свои требования к описанию возмущающих воздействий. Это обусловлено необходимостью работы такой модели в режиме реального времени, то есть время расчета управляющего воздействия должно быть мало по сравнению со временем, разделяющим два по-

следовательных управляющих воздействия. Кроме того, решение не должно усложняться при поступлении новой информации о возмущающих воздействиях. Для этого целесообразно использовать аппроксимацию возмущающих воздействий сплайнами [27, 38].