Автоматизированные системы теплоснабжения и отопления

Раздел: Отопление

Система теплоснабжения представляет собой совокупность большого числа теплообменных устройств, объединенных в единую систему генерации, транспорта, отпуска теплоты, и может быть представлена в виде структурной схемы ( 5.2), учитывающей все внутренние связи и внешние воздействия. Элементы системы теплоснабжения разделяются по видам теплопередачи (фильтрацией, конвекцией, теплопроводностью, излучением), по физическим свойствам теплоносителей (газ, жидкость, двухфазный теплоноситель с изменяющимся агрегатным состоянием) и по конструктивному выполнению (прямоток, противоток, перекрестный ток). Для всех этих весьма разнохарактерных элементов можно составить дифференциальные уравнения, описывающие процесс динамики теплообмена. При этом допустим такой подход, когда можно пренебречь влиянием изменения массы среды на динамические процессы. В этом случае скорость изменения температуры среды пропорциональна полному количеству теплоты, передаваемой путем конвекции, теплопроводности, излучения, фильтрации и тепловыделения

В принципе любая из перечисленных выше задач могла бы быть решена с очень большой точностью по исходным дифференциальным уравнениям в частных производных с помощью численного интегрирования на цифровых вычислительных машинах. Но это связано с затратой больших средств и времени, что не всегда оправдано, особенно в том случае, когда решение задачи, например выбора системы автоматического регулирования, находится в начальной стадии и поэтому требуется большой объем вариантных проработок возможных схем систем управления.

Кроме того, имеется широкий круг задач, когда необходимо исходить из наибольшей эффективности решения, из его анали- зируемости. Это возможно лишь в случае получения результата в аналитической форме. Наглядность решения играет очень большую роль, и при одинаковой точности всегда желателен' более поздний переход к численным методам, дающим частные результаты. При оценке погрешности метода вычислений следует иметь в виду, что качество исходной информации, используемой при исследовании переменных режимов работы систем теплоснабжения, весьма невысокое. Поэтому в данном случае погрешность исходных данных является безусловно основной составляющей общей погрешности.

Более предпочтительным следует считать метод получения решения в виде передаточных функций. Аппарат передаточных функций более универсален, позволяет легко перейти к вычислению частотных характеристик. Последнее обстоятельство весьма существенно, так как частотный метод анализа динамических систем разработан наиболее полно и очень часто решение задач синтеза и анализа систем регулирования основано на использовании частотных характеристик объекта. Кроме того, определение частотных характеристик не представляет особых трудностей даже в случае сложных систем и существует множество методов аппроксимации по частотным характеристикам.

Общий метод получения передаточных функций сводится главным образом к известным элементам операционного исчисления, в частности к методу Лапласа преобразования функций. Операционное исчисление, основанное на преобразовании Лапласа и разработанное для исследования детерминированных дифференциальных уравнений в прикладной математике, находит широкое применение для решения задач нестационарного теплообмена, сводящихся к определению динамических характеристик теплообменных аппаратов. Этот метод, как известно, основан на работах Хевисайда, Бромвича, Карслоу и Кар- сона и др.

Полученные исходные системы уравнений ( 5.1) являются нелинейными. Поэтому, чтобы применить к ним преобразование Лапласа, необходимо системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, являющимися функциями пространственных координат и времени, линеаризовать и заменить их постоянными или линейными функциями. Такая замена возможна, если коэффициенты инвариантны относительно времени и пространственных координат или не зависят от времени и изменяются линейно с пространственными координатами. Если систему не удается представить в виде линейной или квазилинейной, то почти отсутствует возможность точного определения передаточных функций.

Заметим, что линеаризация в принципе допустима, если градиент температур по направлениям координат или потоков меняется в небольших пределах. Для малой степени нестационарности, т. е. для малых возмущений и малых отклонений параметров от их значений в заданном равновесном режиме, вполне корректным является решение линеаризованных уравнений.

Передаточные функции, получаемые в результате аналитического решения исходных дифференциальных уравнений в частных производных, являются трансцендентными, что неизбежно при наличии двух независимых переменных. Существует большое количество способов аппроксимации трансцендентных передаточных функций дробно-рациональными выражениями.

При наличии аналитических передаточных функций целесообразно воспользоваться таким из существующих методов аппроксимации, который не был бы связан с громоздкими вычислениями, графическими построениями и, главное, в процессе аппроксимации возможно дольше сохранял бы параметры системы. Аппроксимация станет целиком аналитической, если удастся выразить параметры аппроксимирующей функции через параметры физического объекта.

В результате решения исходных уравнений получаются передаточные функции двух типов. Решение уравнений теплопроводности Фурье (5.7), (5.8), (5.10) дает выражения, содержащие функции гиперболических синусов, косинусов и тангенсов от мнимого аргумента.

Аппроксимация передаточных функций первого типа может быть осуществлена разложением гиперболических функций в степенной ряд. Способ аппроксимации, основанный на разложении изображений функции в степенной ряд, обладает следующими преимуществами:

простотой получения приближенных обыкновенных передаточных функций и вычисления по ним переходных процессов;

возможностью проведения решения при помощи последовательного самоприближения к заданному процессу.

Последнее обстоятельство является особенно важным, так как обеспечивает желаемую точность и возможность сведения ошибки до минимума.

Применение метода разложения изображений в степенной ряд дает удовлетворительную сходимость на всем диапазоне частот 0 ^ р ^ со только для передаточных функций первого типа. Использование рассмотренного метода для аппроксимации передаточных функций второго типа дает сравнительно простые выражения только в том случае, если разложение в ряд производится в окрестности какой-либо точки. При этом знание поведения аппроксимирующих передаточных функций в окрестностях р-^0 или р->-оэ не дает возможности судить об их поведении во всем диапазоне изменения р в пределах 0 ^ ^ Р ^

В связи с этим более эффективным для практических целей является разложение функции ехрА(р)/В(р) по всей области изменения аргумента, а не в отдельных точках. Для решения задачи в указанном плане целесообразно использовать свойства интегральных оценок, хорошо развитых в теории автоматического регулирования.

Известны три вида интегральных оценок: линейные, квадратичные и обобщенные. С точки зрения простоты вычислений, физической наглядности и характера переходных функций (монотонные процессы), имеющих место в системах теплоснабжения, наиболее рациональным оказывается применение свойств линейных интегральных оценок.

Многочисленные расчеты показали, что аппроксимация трансцендентного выражения звеном первого порядка дает удовлетворительную точность и вполне применима для инженерных расчетов.