|
Как следует из общих требований,
изложенных выше, модели управления тепловыми и гидравлическими процессами в
элементах систем теплоснабжения и отопления должны в наибольшей степени
соответствовать характеристикам объекта и быть более простыми. Многие
возмущающие воздействия в системах теплоснабжения носят вероятностный
характер за счет как неоднозначности исходной информации, так и
стохастической природы некоторых тепловых возмущений. Поэтому создаваемые
математические модели в той или другой степени должны использовать
экспериментальные данные и строиться на основе вероятностно-статистических
методов.
Рассматриваемый подход при исследовании тепловых и
гидравлических процессов в энергетических и санитарно-техниче- ских системах
в последнее время находит все большее применение [1, 12, 45].
Большинство вероятностно-статистических методов построения
модели объекта по экспериментальным данным сводится к минимизации некоторой
величины, как правило, — это некоторая сумма квадратов.. Процессы теплообмена
в зданиях и сооружениях описываются с достаточной точностью системой линейных
дифференциальных уравнений, поэтому в рассматриваемом круге задач находят
большее применение методы построения линейных как параметрических, так и
непараметрических моделей.
Параметрические методы являются, вообще говоря, более
эффективными по сравнению с непараметрическими (например, с обычньШ
спектральным анализом), поскольку при этом оценивается меньшее число
параметров. С другой стороны, параметрические модели описывают более узкий
класс процессов, а их применение требует более полной априорной информации об
изучаемых процессах.
Для оценивания этих величин используются различные
статистические методы: метод максимального правдоподобия, метод наименьших
квадратов, регрессионный анализ и др.
Непараметрическая модель, приведенная выше, может быть
обобщена на нелинейный случай. Используя ряды Вольтерра, ядра которых
представляют собой весовые функции высших порядков, можно получить описание
нелинейного объекта, допускающее ясную физическую интерпретацию. Этот метод
имеет большое достоинство, связанное с тем, что нелинейная система
рассматривается как непосредственное обобщение линейного случая, хотя сам
объект может существенно отличаться от линейного.
Задача регрессионного анализа сводится к получению
математической модели, проверке адекватности и к оценке влияния каждого
фактора. Регрессионный анализ базируется на следующих предпосылках.
1. Входные переменные {х,} могут иметь
произвольное распределение, но для каждого фиксированного значения этих
величин выходная случайная величина у имеет нормальное распределение.
2. При условии однородности дисперсии выходной
величины, т. е. если производить многократные повторные наблюдения выходной
величины у, ее дисперсия не будет зависеть от набора значений входных
переменных.
3. Входные переменные {л:,} измеряются с малой ошибкой по
сравнению с ошибкой выходной переменной.
Последнее требование практически всегда выполнимо, так как
ошибка выходной переменной, помимо ошибки измерения, зависит от независимых
переменных, которые не доступны измерению (старение агрегата, изменение в
составе отдельных материалов и т. д.).
В случае невыполнения первого и (или) второго требований
следует преобразовать выходную переменную у так, чтобы новая величина уже
удовлетворяла этим требованиям.
При исследовании теплоэнергетических процессов часто
приходится использовать экспериментальный материал, полученный в условиях,
которые не были специальным образом выбраны исследователями.
Регрессионный анализ данных нормальной эксплуатации
обладает рядом свойств, которые ограничивают сферу его применения в задачах
оптимизации и управления сложными технологическими объектами.
1. Поскольку пассивное наблюдение за ходом
процесса проводится в режиме нормальной работы, то режимные параметры
меняются в небольших пределах и, следовательно, слишком узок интервал
изменения независимых переменных. В результате создается ситуация, при
которой данные, подлежащие обработке, фактически собраны в одной точке. При
этом вся математическая модель описывается уравнением Q — y и данные
нормальной работы представляют собой случайный разброс вокруг среднего
значения.
2. При пассивном эксперименте трудно оценить его
ошибку и, следовательно, нельзя достаточно строго проверить гипотезу об
адекватности представления результатов эксперимента выбранной моделью.
3. Независимые переменные попарно коррелируемы,
что не дает возможности правильно интерпретировать полученные результаты.
Регрессионный коэффициент не показывает степень влияния независимой
переменной на выход, а характеризует степень суммарного воздействия всех
коррелированных с ним переменных. Вследствие этого выбрасывание хотя бы
одного незначимого фактора из модели резко меняет не только значения
остальных ее коэффициентов, но даже их знаки.
4. Вследствие коррелированности переменных
затруднена процедура проверки коэффициентов на значимость. Оценка значимости
отдельных, сильно коррелированных коэффициентов часто дает незначимое
отклонение коэффициента от нуля. Бывают даже случаи, когда все коэффициенты
оказываются незначимыми, а в целом уравнение регрессии дает значимое
уменьшение остаточной дисперсии.
б. Значительная корреляция между переменными приводит к
тому, что матрица (ХТХ) будет иметь несколько «почти линейно зависимых»
столбцов и будет «почти вырождена». Это означает, что матрица нормальных
уравнений плохо обусловлена, что, в свою очередь, приводит к неустойчивым, а
иногда вследствие этого даже к абсурдным решениям.
6. Как правило, независимые переменные имеют узкие
интервалы варьирования. Это приводит к тому, что точность получаемой модели
быстро убывает при удалении от центра эксперимента. Кроме того, в силу
коррелированности факторов падение точности модели в различных направлениях
различно.
Приведенные выше рассуждения хорошо иллюстрируются на
примерах, отмеченных в работах [8, 65], и достаточно наглядно демонстрируют
трудности интерпретации результатов пассивного эксперимента и использования
построенных на его основе моделей для управления.
Все же часто имеют место ситуации, когда необходимо
изучить процесс и найти пути для его оптимизации, а осуществить активный
эксперимент, нужный для построения модели, не представляется возможным.
Следует ли в этой ситуации отказаться от использования
данных режима нормальной эксплуатации, которые уже имеются? Ясно, что за
неимением лучшего исследователь вынужден использовать этот материал.
Возникает необходимость поиска путей, которые позволили бы, опираясь на
данные пассивного эксперимента, получать надежные результаты и заключения
относительно объекта исследования по статистической модели, построенной на
этом материале.
Рассмотрим два таких пути.
1. Построение таких критериев поиска оптимума,
которые учитывали бы стохастический характер регрессионных моделей, т. е.
коррелированность, включающую свойства оценок коэффициентов регрессии, свойства
используемого для построения модели статистического материала, область
применения регрессионных моделей.
2. Улучшение статистических свойств материала
пассивного эксперимента:
путем добавления специальным образом спланированных
экспериментов;
путем специальной корректировки экспериментальных данных.
О моделях, построенных по данным пассивного эксперимента,
можно сказать, что они обладают хорошей точностью в условиях, близких к тем,
в которых проводился эксперимент, а при отклонении от них точность может
резко падать. В связи с этим при подготовке пассивного эксперимента следует
предусмотреть имитацию всех условий функционирования системы, например, при
проведении экспериментальных исследований системы теплоснабжения
целесообразно провести эксперименты как для различных метеорологических
условий (осень — весна, зима), так и в различных режимах работы ТЭЦ или
котельной (имитация аварий, отключений и пр.).
Особые сложности в использовании моделей, построенных по
данным пассивного эксперимента, возникают в случае управления процессами в
развивающихся системах теплоснабжения. Например, подключение нового
потребителя теплоты приводит к необходимости сбора нового статистического
материала и выполнения процедур адаптации модели.
В чистом виде активный эксперимент поставить на работающей
системе теплоснабжения практически невозможно вследствие необходимости
соблюдения определенных технических требований, например, температура воздуха
в жилых помещениях должна находиться в требуемых пределах (18—21 °С). Такое
условие затрудняет варьирование другими величинами (температурой и расходом
теплоносителя и др.) на отрезке относительно постоянных внешних
метеорологических условий. Однако на основании теории планирования
эксперимента [65] здесь можно сформулировать некоторые общие рекомендации,
позволяющие улучшить качество построения модели. Так, целесообразно выделить
интервалы варьирования параметров, в которых мы можем их менять по своему
усмотрению. Для таких параметров может быть построен план эксперимента одним
из известных методов [65], например методом случайного баланса или с помощью
таблиц факторного планирования [65].
Другой трудностью активного планирования эксперимента при
нестационарных процессах теплообмена является отсутствие во многих случаях,
особенно для комплексных моделей, точного их вида. От вида модели и критерия
оптимальности зависит план эксперимента; в рассматриваемом круге задач целью
является не только оценивание неизвестных коэффициентов, но и подбор
оптимальной в некотором смысле структуры модели.
Сравнивая активный и пассивный эксперименты, можно
сказать, что активный эксперимент в лучших случаях для оценивания п
параметров требует п экспериментов, для пассивного эксперимента необходимо в
10—15 раз больше экспериментов. Учитывая приведенные в [65] рекомендации, эту
цифру можно снизить до 5—7 раз.
Обработка экспериментальных данных как активного, так и
пассивного экспериментов ведется, как правило, на ЭЦВМ, для чего используются
многочисленные программы дисперсионного, регрессионного и факторного анализа
данных. В рассматриваемом классе задач стандартные процедуры регрессионного
анализа не всегда приемлемы в силу ряда причин. Как правило, задача состоит
не только в оценивании неизвестных коэффициентов, но и в выборе оптимальной в
некотором смысле структуры регрессионного уравнения.
Выбор переменных для введения в регрессионное уравнение
осуществляется на основе статистических критериев согласия
Фишера или Стьюдента. Необходимо выбрать такой набор
переменных, ^-критерий для каждой из которых больше заданного, а оставшиеся
переменные имеют меньшие значения. Существуют различные методы регрессионного
анализа и их реализации на ЭВМ, позволяющие сделать такой выбор.
Приведенные выше методы относятся к классу линейных,
однако практические задачи в системах теплоснабжения часто сводятся к
нелинейным процедурам оценивания. К ним же сводятся процедуры, позволяющие
строить оценки при нарушениях основных предпосылок регрессионного анализа,
например при отсутствии нормальности остатков или замены критериев минимума
суммы квадратов на какой-либо другой.
Другим важным классом статистических процедур
регрессионного анализа являются процедуры оценивания с ограничениями. В
линейном случае ограничения незначительно усложняют задачу, но в нелинейном
они существенно затрудняют решения, например, алгоритм, приведенный в [35],
может потребовать перехода к вычислениям с двойной точностью из-за накопления
ошибок в промежуточных вычислениях.
Данный класс задач характеризуется наличием близких друг
другу переменных, например величин, рассматриваемых с временными задержками;
такие переменные со статистической точки зрения являются мультиколлинеарными,
т. е. определитель корреляционной матрицы таких переменных близок к нулю.
Регрессионный анализ таких экспериментальных данных связан
с определенными трудностями, в связи с чем возникает задача составления
устойчиво работающих программ обработки мультиколлинеарных переменных или
программ выявления мультиколлинеарности до проведения регрессионного анализа.
Особенности использования вероятностно-статистических
методов в энергетических системах приведены в ряде работ [12, 51]. Алгоритмы
и программы, учитывающие изложенные выше особенности, имеются в составе
следующих работ [12, 73, 81, 87]. Однако многие проблемы применения
вероятностно-ста- тистических методов в задачах управления системами
теплоснабжения еще не решены и требуют разработки специальных методов.
|