СЛОВАРЬ ЮНОГО МАТЕМАТИКА

ЧИСЛО

Число- одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты а та или измерения.

Когда-то численность множества не отделялась от других его качеств, и для того, чтобы сравнить два множества, их элементы располагали друг против друга. Но потом оказалось, что удобнее сравнивать все множества с одним и тем же множеством-посредником. Так как пальцы были всегда при себе, то и стали считать по пальцам. А потом появились особые названия для чисел - сначала для небольших, а потом для все больших и больших.

Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их . При этом вавилоняне уже пользовались, по сути дела, позиционным принципом в обозначении чисел- один и тот ж знал обозначал у них и 1, и 60, и 3600 (их система счисления была шестидесятеричной). Не знали они только знака для нуля-это замечательное изобретение сделали индийские математики в VI в.

Для практ ических нужд требовалось не только уметь обозначать числа, но и выполнять с ними арифметические действия. Вавилоняне, чтобы справиться с трудностями своей шестидесятеричной системы счисления, применяли таблицы произведений, квадратов, кубов и т.д. А древние греки и римляне считали с помощью абака-прибора, похожего на русские счеты, но с камешками вместо косточек.

Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. В III в. до н.э. Архимед разработал систему обозначения чисел вплоть до такого громадного числа, как 10я 10".

Наряду с натуральными числами применяли дроби-числа, составленные из целого числа долей единицы. Множества натуральных чисел и дробей было достаточно, чтобы выразить результат любого измерения. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения двух таких чисел, т, е. дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «...элемента чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом». Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата не соизмерима с его стороной. Отсюда следовало, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основания утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Открытие несоизмеримых величин наложило глубокий отпечаток на развитие древнегреческой математики. Так как в то время не знали чисел, отличных от натуральных и дробей, возникли две науки, которые развивались параллельно, но имели различные объекты изучения: арифметика-наука о числах и геометрия, в которой, в частности, рассматривалось учение о величинах-длинах, площадях, объемах.

Древнегреческие ученые умели складывать и вычитать величины, находить их кратные и доли, а над их отношениями умели выполнять операции умножения, деления, возведения в степень. Однако, поскольку не существовало общей идеи числа, все эти операции невозможно было объединить в единую систему в арифметику действительных чисел. Это тормозило развитие древнегреческой науки, сковывало, как панцирь, живое тело античной математики. Гораздо свободнее, но менее строго обращались с числами ученые, занимавшиеся практическими задачами: астрономы, землеустроители^ географы и т.д. В их работах, относящихся ко I) в. до н.э.-III в., постепенно стирается грань между числами и величинами. Этот процесс завершили математики средневекового Востока <Омар Хайям, XI-XII вв.).

С развитием алгебры, уже при решении линейных уравнений с одним неизвестным, возникает необходимость в отрицательных числах. Еще до нашей эры их стали употреблять китайские математики. Широко использовали отрицательные числа и индийские математики (Брахмагупта, VII в.). Замечательным достижением индийских математиков было введение понятия нудя и знака для н» го, что позволило им создать десятичную систему записи натуральных чисел и разработать правила операций над записанными так числами. Эту запись чис я стали применять математики многих восточных стран, откуда она попала в Европу,

В XV в. самаркандский ученый ал-Каши ввел десятичные дроби. Это нововведение оставалось неизвестным европейским магемат икам, и лишь в 1584 г. нидерландский математик и инженер С. Стевин вновь пришел к этому открытию. Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел.

Следующими важными этапами в развитии понятия числа были открытие комплексных чисел и формальное построение теории действительных чисел на основе понятия натурального числа.

Изучение понятия числа шло не только путем обобщения, но и путем выделения из общего понятия числа важных частных случаев. Например, в множестве R действительных чисел были выделены рациональные и иррациональные числа, т е. числа, которые соответственно можно записать в виде дроби p/q и которые нельзя записать в /аком виде. По своей десятичной записи эти виды чисел различаются тем, что в записи рационального числа, начиная с некоторого места, неизменно повторяется одна и та же цифра или группа цифр, тогда как в записи иррационального числа такого повторения наступить не может.

Все числа, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными. Очевидно, что все трансцендентные числа иррациональны. Трансцендентно число к = 3,1415926..., играющее важнейшую роль в математике. Советский математик А. О. Гельфонд доказал, что любое число вида ар где «-алгебраическое число, отличное от 0 и 1, а {5—иррациональное алгебраическое число, является трансцендентным. Хотя абстрактное доказательство существования трансцендентных чисел довольно просто (оно проводится с помощью общих теорем о множествах), проверить, что некоторое конкретное число трансцендентно, весьма сложно. Существуют числа, для которых вопрос об их трансцендентности не выяснен до сих пор.